Integracion por fracciones parciales

 

Este metodo permite integrar algunas de las funciones racionales que dificilmente se pueden resolver mediante otros metodos de integracion. La integracion por fracciones parciales es un metodo algebraico que permite descomponer una fraccion racional en la suma de varias fracciones.

Considerar los siguientes puntos.

1.- Cuando el denominador de la fraccion es de 1er grado y nose Repite.

2.- Cuando el denominador de la fraccion es de 1er grado y esta repetido.

3.- Cuando el denominador de la fraccion es de 2do grado y no esta Repetido.

4.-Cuando el denominador de la fraccion es de 2do grado y esta repetido.

Ejemplo:

Empezamos agrupar los terminos que tengan el exponente iguales

Empezamos a resolver cada uno de los terminos para encontrar una de las variables( una vez que se despeje cada una de ellas se sustituye en las otras.

Una vez Resueltos sustituimos en la Ecuacion 

Informacion Obtenida en investigacion

1. Factorización del denominador: Comienza factorizando el denominador de la función racional en factores lineales y/o cuadráticos irreducibles.

2. Descomposición en fracciones parciales: Expresa la función racional original como una suma de fracciones parciales. Cada fracción parcial tendrá un numerador desconocido que debes determinar y el denominador correspondiente a cada factor irreducible del denominador.

3. Determinación de los coeficientes desconocidos: Para encontrar los coeficientes desconocidos en las fracciones parciales, puedes utilizar métodos como la igualación de coeficientes o el método de coeficientes indeterminados.

4. Integración: Una vez que has descompuesto la función en fracciones parciales y has encontrado los coeficientes, puedes integrar cada una de las fracciones parciales utilizando las reglas de integración estándar.

5. Resolver cualquier constante de integración: Al integrar cada fracción parcial, no olvides agregar una constante de integración para cada término.

Veamos un ejemplo simple:

Supongamos que queremos integrar la función racional:

$\int \frac{3�+1}{{�}^2-4�+3}��$

1. Factorización del denominador: El denominador se puede factorizar como $(�-1)(�-3)$.

2. Descomposición en fracciones parciales: La función se puede expresar como:

$\frac{3�+1}{(�-1)(�-3)}=\frac{�}{�-1}+\frac{�}{�-3}$

3. Determinación de los coeficientes desconocidos: Multiplicando ambos lados por el denominador común, obtienes:

$3�+1=�(�-3)+�(�-1)$

Resolviendo para $�$ y $�$, puedes encontrar que $�=1$ y $�=2$.

4. Integración: Ahora puedes integrar cada fracción parcial:

$\int \frac{3�+1}{(�-1)(�-3)}��=\int \frac{1}{�-1}��+\int \frac{2}{�-3}��$

Integrando cada término, obtienes:

$\ln \mathrm{\mid }�-1\mathrm{\mid }+2\ln \mathrm{\mid }�-3\mathrm{\mid }+�$

Donde $�$ es la constante de integración.

Saludos....