Metodos para el calculo de volumenes de solidos en Revolucion

 Un Solido en Revolucion: Es uan figura obtenida como consecuencia de hacer rotar una region plana al rededor de una recta cual quiera que esta contenida en el mismo plano.

Metodo de Disco para 1 funcion

Volumen de cilindro

Nota: Depende del Giro en el eje es asi como se resolvera la funcion.

Ejemplos:

Metodo de Arandelas ( 2 funciones)

se utiliza el metodo arandelas cuando se trata de culcular el volumen de un solido en revolucion con un agujero. Este tipo de solido aparece cuando la region plana gira y el eje de revolucion no estan juntos.

Ejemplo:

Para calcular volúmenes de sólidos mediante la revolución de una función alrededor de un eje, como el eje x o y, puedes utilizar varios métodos, siendo los más comunes:

1. Método de discos o arandelas:

   • Este método se utiliza cuando la región entre la función y el eje de revolución se puede aproximar como discos o arandelas.
   • La fórmula general para el volumen $�$ es:
     $$�=�{\int }_{�}^{�}[�(�){]}^2��\text{o}�=�{\int }_{�}^{�}[�(�){]}^2��$$

   donde $�(�)$ o $�(�)$ es la función que representa el radio del disco o arandela en términos de $�$ o $�$, respectivamente, y $[�,�]$ o $[�,�]$ son los intervalos de integración.

2. Método de cascarones:

   • Se utiliza cuando la región entre la función y el eje de revolución se puede aproximar como cascarones cilíndricos.
   • La fórmula general para el volumen $�$ es:
     $$�=2�{\int }_{�}^{�}�\cdot �(�)��\text{o}�=2�{\int }_{�}^{�}�\cdot �(�)��$$

   donde $�(�)$ o $�(�)$ es la función original que representa la distancia desde el punto a revolucionar hasta el eje de revolución, y $[�,�]$ o $[�,�]$ son los intervalos de integración.

3. Método de la arista:

   • Se utiliza cuando tienes una función dada y quieres encontrar el volumen de revolución alrededor del eje x o y de un segmento específico de esa función.
   • La fórmula general es:
     $$�={\int }_{�}^{�}�(�)��\text{o}�={\int }_{�}^{�}�(�)��$$

   donde $�(�)$ o $�(�)$ es el área de la sección transversal perpendicular al eje de revolución en términos de $�$ o $�$, respectivamente, y $[�,�]$ o $[�,�]$ son los intervalos de integración.

Estos métodos son fundamentales en cálculo integral y son muy útiles para encontrar volúmenes de sólidos de revolución en diversas aplicaciones matemáticas y científicas. Recuerda ajustar el método según la forma de la región que estés trabajando.