Capas Cilindricas

 

CALCULO DE VOLUMENES MEDIANTE CAPAS CILÍNDRICAS 

EJEMPLO

Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f(x)=2x–x2 y abajo por el eje x en el intervalo [0,2]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y.

El método de capas cilíndricas es una técnica comúnmente utilizada en cálculo integral para encontrar el volumen de sólidos cuya sección transversal puede describirse mediante funciones. Consiste en dividir el sólido en capas delgadas, cada una modelada como un cilindro o un anillo, y luego sumar el volumen de todas estas capas para obtener el volumen total.

Voy a mostrarte cómo se puede aplicar este método para encontrar el volumen de un sólido utilizando un ejemplo concreto:

Supongamos que queremos encontrar el volumen del sólido que se forma al girar la región delimitada por la función $�={�}^2$ y el eje $�$ sobre el intervalo $[0,1]$.

1. Definición de capas cilíndricas: Dividimos el intervalo $[0,1]$ en $�$ subintervalos iguales. Cada subintervalo $\mathrm{\Delta }�$ representará el ancho de una capa delgada. Para cada $\mathrm{\Delta }�$, construimos un cilindro perpendicular al eje $�$, cuya altura es $�(�)$ (en este caso, $�(�)={�}^2$) y cuyo radio es $�$ (la coordenada $�$ del punto donde se encuentra la capa). El volumen de cada cilindro será $�{�}^2\mathrm{\Delta }�$.

2. Suma de volúmenes de las capas: Sumamos el volumen de todas las capas cilíndricas desde $�=0$ hasta $�=1$ mediante una integral: $�={\int }_0^1�{�}^2��$

3. Cálculo de la integral: Integramos la función $�{�}^2$ con respecto a $�$ desde $0$ hasta $1$: $�=�{\int }_0^1{�}^2��$ $�=�{\left[\frac{{�}^3}{3}\right]}_0^1$ $�=�(\frac{1}{3}-0)$ $�=\frac{�}{3}$

Entonces, el volumen del sólido generado por la rotación de la región delimitada por $�={�}^2$ y el eje $�$ sobre el intervalo $[0,1]$ es $\frac{�}{3}$ unidades cúbicas. Este es un ejemplo de cómo se puede aplicar el método de capas cilíndricas para calcular volúmenes mediante cálculo integral.

Saludos!!!