Continuidad de una función

  Continuidad de una función

Lo aprendido en clase

Se dice que una función F(X) es continua en un punto Y=a si solo se cumplen las 3 condiciones siguientes:

1.- Que el punto X=a tenga imagen

F(a)  X=a

2.- Que existe limite de la función en el punto X=a

el a negativa es el límite Izquierdo

el a Positivo es el límite Derecho

3.- Que la imagen en el punto coincidan con el límite de la función en el punto.

.Nota: el limite izquierdo y el límite derecho tienen que ser iguales a la imagen.

Caso de Funciones Discontinuas

También aprendimos a saber cuando una función es continua o descontinua con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

 

Aprendiza Extra

La continuidad es un concepto fundamental en el análisis matemático que se utiliza para describir el comportamiento suave de una función en un punto o en un intervalo. Una función se considera continua si no tiene saltos, quiebres o discontinuidades abruptas en su gráfica. Para que una función sea continua en un punto, debe cumplir tres condiciones:

1. La función debe estar definida en el punto: Esto significa que el valor de la función f(x) debe estar definido para el valor x en cuestión. No puede haber agujeros en el dominio de la función.

2. El límite de la función en ese punto debe existir: El límite de la función f(x) cuando x se acerca al punto en cuestión (x=a) debe existir. Esto significa que los valores de f(x) se acercan a un valor finito cuando x se acerca a a.

3. 1. El valor de la función en ese punto debe ser igual al límite: Matemáticamente, esto se expresa como f(a) = lim(x->a) f(x). En otras palabras, el valor de la función en el punto a debe ser igual al valor al que se aproxima la función a medida que x se acerca a a.

   Si estas tres condiciones se cumplen para un punto particular, entonces se dice que la función es continua en ese punto. Sin embargo, existen diferentes tipos de continuidad que pueden variar en función de cuán "suave" es el comportamiento de la función en ese punto:

   1. Continuidad puntual: Una función es continua puntualmente si es continua en cada punto de su dominio.

   2. 1. Continuidad en un intervalo: Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto dentro de ese intervalo.

      2. Continuidad uniforme: Una función es uniformemente continua en un intervalo si, para cualquier ε > 0 (epsilon), existe un δ > 0 (delta) tal que |f(x) - f(y)| < ε siempre que |x - y| < δ para todos los valores de x e y en el intervalo.

      3. Continuidad en un conjunto: Una función puede ser continua en un conjunto específico, lo que significa que es continua en cada punto de ese conjunto.

      4. Es importante destacar que no todas las funciones son continuas en todos los puntos de su dominio. Algunas funciones pueden tener discontinuidades, como saltos, huecos, asíntotas verticales u oscilaciones, en ciertos puntos. Estas discontinuidades pueden clasificarse en diferentes tipos, como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades esenciales, dependiendo de su naturaleza.

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