Teoría dé Limites

Diario de clase #2

24-septiembre-2023

Teoría dé Limites 

Que es un Limite?

Es una función F(x) en el punto x inicial es el valor  al que sele acercan las y cuando los valores se acercan al valor x inicial.

Formulas

1. Lim k=k
   X→C

2. Lim X=C
   X→C

3. Lim [f(x) ± g(x)] = Lim f(x) ± Lim g(x)
   X→C                      X→C         X→C

4. Lim [f(x) * g(x)] = Lim f(x) * Lim g(x)               
   X→C                       X→C        X→C                          
                                                                                   
5. Lim     f(x) = Lim f(x) X→C

  X→C    g(x)   Lim g(x)  X→C  

6. Lim [f(x)]^n = [Lim f(x)]^n
     X→C             X→C

Nota: C= Constante   →= Tender hacer

Ejemplos: (Lo aprendido en clase)

1.-Lim 2x^4  2(3)^4=162 como es valor que se puede graficas entonces SI Existe

X→3 Nota: Primero la potencia y después la multiplicación

2.-Lim (3x^2-2x) = 3(4)^2-2(4) = 48-8 = 40 SI existe

X→4

3.-Lim √x^2+9 = √4^2+9 = √16+9 = √25  = 5 SI existe

X→4        4               4           4           4       4

4.- Lim x^2+3x-10 = 2^2+3(2)-10 = 4-6-10 = 0 Resultado indeterminado

X→2     x^2+x-6         2^2+2-6             4-4          0

Nota: Cuando se encuentra un Valor indeterminado se tiene que factorizar

Nota: Vamos a buscar 2 números que multiplicados nos de el ultimo valor y al restarlo o sumarlo nos de el penúltimo valor se factoriza arriba y abajo

4.-Lim x^2+3x-10 =  (x-2) (x+5)  = 

  X→2                         (x+3) (x-2)      Nota: se eliminan los valores semejantes y se le saca el limite a los valores sobrantes

Lim     x+5 = 2+5 = 7 SI existe

x→2     x+3 = 2+3 = 5 

Ejemplos de Factorización:

1.- Lim  x^2-2x+1 = (x-1) (x-1)  Nota: factorización por termino común

x→1     x^3-x          x(x^2-1)

  (x-1) (x-1)   = (x-1) (x-1) =       x-1    = Lim       x-1     = 1-1     =   0  NO existe

    x(x^2-1)     x(x-1) (x+1)   x(x-1)    x→1   x(x+1)    1(1+1)      2

2.-Lim  x^4-81 = (x^2+9) (x^2-9)= (x+3) (x-3) (x^2+9) = (x-3)(x^2+9)

x→-3     x+3                x+3                        x+3  

  Lim     (x-3)(x^2+9) = (-3-3)(-3^2+9) = (-6)(18) = -108 Si Existe              

x→-3 

Límite por racionalización:

Lim    √1+x² -1 → Debemos multiplicar la raíz por su conjugado lo que se hace arriba               x→0       x                                                                                               también abajo

√1+x² -1 * √1+x² +1      = (√1+x²) +1 * (√1+x²) +1 Raíz cuadrada * raíz cuadrada se elimina
      x √1+x² +1                        x(√1+x²) +1


= 1 + x² (√1+x²) * (√1+x²) +1     =     x²       =       (x)(x)      =       x     =      0 No existe
                 x(√1+x²) +1            x(√1+x²) +1     x(√1+x²) +1    (√1+x²) +1

Información extra

En cálculo, el concepto de "límite" es fundamental y se utiliza para describir el comportamiento de una función matemática a medida que se acerca a un punto específico o cuando se aleja hacia infinito. El límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor c se denota comúnmente como:

                                                                limx→c​f(x)

El límite representa el valor al que se aproxima la función f(x) a medida que x se acerca cada vez más al valor c, pero puede que nunca alcance ese valor exacto en algunos casos. En otras palabras, el límite describe el comportamiento de la función en las cercanías de un punto, sin necesariamente evaluar la función en ese punto.

Hay varios tipos de límites en cálculo, incluyendo:

Límites finitos: En estos casos, la función se aproxima a un valor específico a medida que x se acerca a c. Por ejemplo, el límite de ${\lim }_{�\to 2}({�}^2)$ es 4, porque a medida que x se acerca a 2, la función ${�}^2$ se acerca a 4.

Límites infinitos: En algunos casos, la función puede crecer o decrecer sin límite a medida que x se acerca a un valor particular. Por ejemplo, el límite de ${\lim }_{�\to 0}(1\mathrm{/}�)$ es infinito positivo (∞) porque a medida que x se acerca a 0 desde la derecha, la función 1/x se vuelve cada vez más grande.

Límites laterales: Se pueden considerar límites desde la izquierda (x se aproxima a c desde valores menores) y límites desde la derecha (x se aproxima a c desde valores mayores). Si los límites laterales son iguales, entonces el límite en c existe. Si son diferentes, el límite en c no existe.

Límites en el infinito: También es común estudiar cómo se comporta una función cuando x se aleja hacia infinito positivo o negativo. Por ejemplo, el límite de ${\lim }_{�\to \mathrm{\infty }}(1\mathrm{/}�)$ es 0, porque la función 1/x se acerca a 0 a medida que x se aleja hacia infinito.

Calcular límites en cálculo puede ser una tarea fundamental para entender el comportamiento de las funciones en diversos contextos. Aquí tienes algunas reglas básicas para calcular límites:

1. Regla de sustitución directa: Si la función está definida en el punto en el que quieres calcular el límite, simplemente sustituye ese valor en la función y obtendrás el límite. En otras palabras, si $�(�)$ está definida en $�=�$, entonces ${\lim }_{�\to �}�(�)=�(�)$.

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3. Regla de límites constantes: Si tienes una función constante, el límite de esa función es el mismo valor constante. Por ejemplo, si $�(�)=5$, entonces ${\lim }_{�\to �}�(�)=5$ para cualquier $�$.

1. Regla de suma/resta de límites: Si tienes dos funciones $�(�)$ y $�(�)$ y quieres calcular el límite de su suma o resta, puedes calcular los límites por separado y luego sumar o restar los resultados. En otras palabras, para cualquier $�$, se cumple que:

   ${\lim }_{�\to �}[�(�)+�(�)]={\lim }_{�\to �}�(�)+{\lim }_{�\to �}�(�)$ ${\lim }_{�\to �}[�(�)-�(�)]={\lim }_{�\to �}�(�)-{\lim }_{�\to �}�(�)$

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3. Regla del producto de límites: Si quieres calcular el límite del producto de dos funciones $�(�)$ y $�(�)$, puedes calcular los límites por separado y luego multiplicar los resultados. En otras palabras, para cualquier $�$:

   ${\lim }_{�\to �}[�(�)\cdot �(�)]={\lim }_{�\to �}�(�)\cdot {\lim }_{�\to �}�(�)$

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5. 1. Regla del cociente de límites: Si quieres calcular el límite del cociente de dos funciones $�(�)$ y $�(�)$ (siempre que $�(�)$ no sea igual a cero en el punto), puedes calcular los límites por separado y luego dividir los resultados. En otras palabras, para cualquier $�$, siempre que ${\lim }_{�\to �}�(�)\mathrm{\ne }0$:

      ${\lim }_{�\to �}\frac{�(�)}{�(�)}=\frac{{\lim }_{�\to �}�(�)}{{\lim }_{�\to �}�(�)}$

   2. Regla de límites de funciones compuestas: Si tienes una función compuesta $�(�(�))$ y quieres calcular el límite cuando $�$ se acerca a un valor $�$, primero calcula ${\lim }_{�\to �}�(�)$ y luego aplica el límite a la función externa $�$. En otras palabras:

      ${\lim }_{�\to �}�(�(�))=�({\lim }_{�\to �}�(�))$

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   4. Factorización en limites

   5. La factorización es una técnica útil en cálculo para simplificar funciones antes de evaluar límites. Aquí te mostraré algunos ejemplos de cómo puedes aplicar la factorización en el cálculo de límites:

   1. Factorización simple:

      A menudo, puedes simplificar una función dividiendo o multiplicando por una expresión adecuada para eliminar una indeterminación. Por ejemplo, considera el límite:

      ${\lim }_{�\to 3}\frac{{�}^2-9}{�-3}$

      Observa que cuando $�$ se acerca a $3$, el denominador se vuelve $0$, lo que crea una indeterminación. Sin embargo, puedes factorizar el numerador y luego simplificar:

      ${\lim }_{�\to 3}\frac{(�+3)(�-3)}{�-3}$

      Ahora, puedes cancelar $(�-3)$ en el numerador y denominador:

      ${\lim }_{�\to 3}(�+3)$

      Evaluando este límite, obtienes $3+3=6$.

   2. Factorización por diferencia de cuadrados:

      La diferencia de cuadrados es una factorización comúnmente utilizada. Por ejemplo:

      ${\lim }_{�\to 2}\frac{{�}^2-4}{�-2}$

      Puedes factorizar ${�}^2-4$ como $(�+2)(�-2)$:

      ${\lim }_{�\to 2}\frac{(�+2)(�-2)}{�-2}$

      Luego, cancela $(�-2)$ en el numerador y denominador:

      ${\lim }_{�\to 2}(�+2)$

      El límite es igual a $2+2=4$.

   3. Factorización por identidades trigonométricas:

      En límites que involucran funciones trigonométricas, puedes utilizar identidades trigonométricas para simplificar. Por ejemplo:

      ${\lim }_{�\to \frac{�}{2}}\frac{\sin (�)-1}{\cos (�)-0}$

      Aquí, puedes utilizar la identidad trigonométrica $\sin (\frac{�}{2})=1$ y $\cos (\frac{�}{2})=0$ para simplificar:

      ${\lim }_{�\to \frac{�}{2}}\frac{\sin (�)-\sin (\frac{�}{2})}{\cos (�)-\cos (\frac{�}{2})}$

      Luego, utiliza la identidad $\sin (�)-\sin (�)=2\sin (\frac{�-�}{2})\cos (\frac{�+�}{2})$ para obtener:

      ${\lim }_{�\to \frac{�}{2}}\frac{2\sin (\frac{�-\frac{�}{2}}{2})\cos (\frac{�+\frac{�}{2}}{2})}{\cos (�)-0}$

      Ahora, puedes cancelar $\cos (�)$ en el denominador y evaluar el límite.

   6. La factorización por racionalización es una técnica que se utiliza para simplificar expresiones racionales que contienen radicales en el denominador. La idea es multiplicar y dividir la expresión por una cantidad adecuada para eliminar el radical y convertirlo en una fracción con un denominador más simple. A menudo se utiliza cuando se calculan límites o se simplifican expresiones algebraicas. Aquí hay dos casos comunes de racionalización:

      1. Racionalización de una raíz cuadrada:

         Si tienes una expresión de la forma $\frac{�}{\sqrt{�}}$, donde $�$ y $�$ son números reales y $�$ no es negativo, puedes racionalizar multiplicando y dividiendo por $\sqrt{�}$ de la siguiente manera:

         $\frac{�}{\sqrt{�}}\cdot \frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}}=\frac{�\sqrt{�}}{�}$

         De esta manera, has eliminado la raíz cuadrada del denominador.

         Por ejemplo, si tienes $\frac{3}{\sqrt{5}}$, puedes racionalizarlo como $\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

      2. Racionalización de una raíz cúbica o n-ésima raíz:

         Si el denominador contiene una raíz cúbica o de grado superior, el proceso es similar. Por ejemplo, si tienes $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$, puedes racionalizarlo multiplicando y dividiendo por $\sqrt[3]{3^2}$ (el número dentro de la raíz elevado al mismo exponente que la raíz):

         $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^2}}=\frac{2\sqrt[3]{9}}{3}$

         Ahora has eliminado la raíz cúbica del denominador.

         En general, si tienes una raíz n-ésima en el denominador, puedes multiplicar y dividir por la misma raíz n-ésima de la base elevada al mismo exponente para racionalizarla.

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