Conocimientos Previos

 El día de hoy 10/09/23 voy a plasmar lo que aprendí en mi 1er cuatrimestre de lo que fue algebra empezare por conceptos seguido de algunos ejemplos así como imágenes y algún video.

Ley de los signos

 es una regla básica de la aritmética que sirve para saber el signo de un resultado como de una suma, resta, multiplicación o división.

Suma de números con el mismo signo: Cuando sumas dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), el resultado será positivo y tendrás el mismo signo que los números originales.

Suma de números con signos opuestos: Cuando sumas dos números con signos opuestos (uno positivo y otro negativo), el resultado tendrá el signo del número con mayor valor.

Resta: La resta se convierte en una suma al cambiar el signo del número que estás restando.

Multiplicación: Cuando multiplicas dos números con signos iguales (ambos positivos o ambos negativos), el resultado será positivo. Cuando multiplicas dos números con signos opuestos, el resultado será negativo.

División: Cuando divides dos números con signos iguales, el resultado será positivo. Cuando divides dos números con signos opuestos, el resultado será negativo.

Ley de los signos en la potenciación y la radicación

Un número escrito con forma de exponente es:

a^n

Donde “a” es la base y “n” es el exponente. Se distinguen dos casos, de acuerdo a la paridad del exponente:
Caso 1: a es positiva

Cuando la base es positiva, el resultado es positivo sin importar si el exponente es par o impar, como en:

23 = 8
34 = 81

Caso 2: a es negativa

Aquí se presentan dos casos: Cuando el exponente es par, entonces el resultado es positivo.
Si el exponente es impar, es negativo.
Ejemplos

32 = 3∙3 = 9
23 = 2∙2∙2 = 8
(−2)4 = (−2) ∙ (−2) ∙(−2) ∙(−2) = 16
(−3)3 = (−3)∙ (−3)∙ (−3) = −27

Operaciones con símbolos de agrupación

Con frecuencia aparecen operaciones separadas con símbolos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Estos se eliminan desde dentro hacia afuera teniendo en cuenta lo siguiente: Si un símbolo de agrupación está precedido por un signo positivo, se puede retirar sin cambiar los signos del contenido, por ejemplo: + (−3 + 5 − 1) = −3 + 5 − 1 = 1.

Si al símbolo de agrupación le precede un signo negativo, se retira invirtiendo el signo del contenido, por ejemplo: − (−3 + 5 −1) = 3 − 5 + 1 = −1.

Cuando existan operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división, se puede hacer uso de las propiedades asociativa y distributiva a conveniencia.
Ejercicios resueltos

a) 10 + 10

Solución: 20

b) (-8) + (-3)

Solución: -11

c) (3) + (-10)

Solución: -7

d) (5) x (-3)

Solución: -15

e) (-10) x (-10)

Solución: 100

f) (18)÷(-3)

Solución: -6

g) (-10)÷(-2)

Solución: 5

h) 4 − (− 7 + 9)

Solución: 4 − (− 7 + 9) = 4 + 7 − 9 = 11− 9 = 2

(https://www.lifeder.com/ley-de-los-signos/)

Ley de Exponentes

los exponentes son una forma abreviada que representa la multiplicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda.

Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción.

cuando el exponentes esta elevado a ala 0 potencia el valor de esto es 1.

a^0=1

cuando el exponentes esta elevado a ala potencia 1 el valor es igual a exponente.

a^1=a

cuando el exponentes esta elevado a una potencia negativa el valor de esta será 1 sobre el exponente elevado ala misma potencia pero positiva.

a^-n=1/a^n

Las leyes de los exponentes son las que se aplican a aquel número que indica cuántas veces debe ser multiplicado por sí mismo un número base. Los exponentes también son conocidos como potencias. La potenciación es una operación matemática formada por una base (a), el exponente (m) y la potencia (b), que es el resultado de la operación.

Multiplicación de potencias con base igual

Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados: am * an = am+n. .

División de potencias con base igual

Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan como sigue: am / an = am-n.
multiplicación de potencias con base diferente



En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente: am * bm = (a*b) m.



Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a*b)m=am* bm.

División de potencias con base diferente

Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente: am / bm = (a / b)m.

Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera:

– (a / b)-n = (b / a )n = bn / an.



– (4/5) -9 = ( 5 / 4) 9 = 59 / 44.

Potencia de una potencia

Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia —es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican: (am)n=am*n.

Exponente fraccionario

Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz:

(https://www.lifeder.com/leyes-exponentes/)

Operaciones Algebraicas

Las operaciones algebraicas tienen varios tipos de grados de dificultad, el grado de cada operación se define por el numero del exponente .

Suma y Resta de Expresiones Algebraicas:

Suma: Para sumar expresiones algebraicas, se combinan término por término. Solo se pueden sumar términos semejantes, es decir, términos que tienen la misma variable con el mismo exponente. Ejemplo:

1. • 2x2+3x2=5x2
   • 
     
     
     
   Resta: La resta de expresiones algebraicas se realiza de manera similar a la suma. Se deben combinar término por término y, nuevamente, solo se pueden restar términos semejantes. Ejemplo: 
   • 4x3−2x3=2x3
3. 
   
   Multiplicación de Expresiones Algebraicas: La multiplicación de expresiones algebraicas implica usar la propiedad distributiva y las leyes de los exponentes cuando corresponda. Multiplicas cada término en la primera expresión por cada término en la segunda expresión. Ejemplo:
   • $(3{�}^2)(4{�}^3)=12{�}^{2+3}=12{�}^5$

4. 
   

5. 
   
   División de Expresiones Algebraicas: La división de expresiones algebraicas se realiza utilizando la regla de los exponentes y, en el caso de fracciones algebraicas, multiplicando por el recíproco del divisor. Ejemplo:
   • $\frac{6{�}^4}{2{�}^2}=3{�}^{4-2}=3{�}^2$

6. 
   

7. 
   
   Simplificación de Expresiones Algebraicas: Para simplificar una expresión algebraica, se combinan términos semejantes y se aplican las leyes de los exponentes. El objetivo es reducir la expresión a su forma más simple. Ejemplo de simplificación: 
   • 2x3+4x3−3x3=3x3
     
     
9. 
   
   Factorización de Expresiones Algebraicas: La factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Se busca expresar una expresión algebraica como el producto de factores más simples. Ejemplo de factorización:
   • $2{�}^2+4�=2�(�+2)$
   • 
     
10. 
    
    Resolución de Ecuaciones Algebraicas: Las ecuaciones algebraicas involucran una igualdad y se busca encontrar el valor o los valores de la variable que la satisfacen. Ejemplo de ecuación algebraica: 
    • 3x+5=11. La solución es $�=2$.

Factorización

Factorización de Números.

Factorización Prima: Consiste en descomponer un número en un producto de factores primos. Cada número entero positivo se puede expresar de manera única como un producto de números primos. Por ejemplo, la factorización prima de 12 es 2^2.3.

Factorización de Expresiones Algebraicas.

 Factorización de Polinomios: En álgebra, la factorización de polinomios implica expresar un polinomio como el producto de otros polinomios más simples. Por ejemplo, x^2−4 se puede factorizar como (x−2)(x+2).

Factor Común: Cuando varios términos de un polinomio comparten un factor común, puedes factorizar ese factor común. Por ejemplo, en el polinomio x^2+6x, puedes factorizar 3x como 3x(x+2).

Factorización por Agrupación: A veces, es necesario agrupar términos de un polinomio y luego factorizar por grupos. Esta técnica es útil en polinomios con cuatro términos. Por ejemplo, en ab+ac+bc+bd, puedes agrupar los términos para factorizar a(b+c)+b(c+d).

Trinomios de la Forma ax^2+bx+c: Los trinomios cuadráticos generales pueden factorizarse utilizando métodos como la factorización por factorización cruzada o la búsqueda de dos números que sumen b y multipliquen ac.

¿Qué es la factorización?

La factorización es un método a través del cual un polinomio se expresa en forma de multiplicación de factores, que pueden ser números, letras o ambos. Para factorizar se agrupan los factores que son comunes a los términos, y de esa forma se va descomponiendo el polinomio en varios polinomios.

Así, cuando los factores se multiplican entre sí el resultado es el polinomio original. La factorización es un método muy útil cuando se tienen expresiones algebraicas, porque se puede convertir en la multiplicación de varios términos sencillos; por ejemplo: 2a2 + 2ab=2a * (a + b).

Existen casos en los que un polinomio no puede ser factorizado porque no hay un factor común entre sus términos; así, esas expresiones algebraicas son divisibles solamente entre ellas mismas y por 1. Por ejemplo: x + y + z.

Factorización por factor común

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Factorización por inspección

Este método se usa para factorizar polinomios cuadráticos, también llamados trinomios; es decir, aquellos que se estructuran como ax2 ± bx + c, donde el valor de “a” es diferente de 1. Este método también se usa cuando el trinomio tiene la forma x2 ± bx + c y el valor del “a” = 1.

Factorización con productos notables

Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.

Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de los productos notables y así el proceso se hace más simple. Entre los productos notables más usados están:

• Diferencia de dos cuadrados: (a2 – b2) = (a – b) * (a + b)
• Cuadrado perfecto de una suma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
• Cuadrado perfecto de una diferencia: a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
• Diferencia de dos cubos: a3 – b3 = (a-b)*(a2 + ab + b2)
• Suma de dos cubos: a3 – b3 = (a + b) * (a2 – ab + b2)

Factorización con la regla de Ruffini

Este método es usado cuando se tiene un polinomio de grado mayor a dos, para así simplificar la expresión a varios polinomios de menor grado.

Ejemplo 1

Factorice Q(x) = x4 – 9x2 + 4x + 12

Solución

Primero se buscan los números que sean divisores de 12, que es el término independiente; estos son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12.

Luego se sustituye la x por estos valores, de menor a mayor, y así se determina con cuál de los valores la división será exacta; es decir, que el resto debe ser 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)4 – 9(-1)2 + 4(-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 – 9(1)2 + 4(1) + 12 = 8  ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 24 – 9(2)2 + 4(2) + 12 = 0.

Y así sucesivamente para cada divisor. En este caso, los factores encontrados son para x = -1 y x = 2.

Ahora se aplica el método de Ruffini, según el cual los coeficientes de la expresión serán divididos entre los factores encontrados para que la división sea exacta. Los términos de polinomio son ordenados de mayor a menor exponente; en el caso que falte un término con el grado que sigue en la secuencia, se coloca un 0 en su lugar.

Se baja el primer coeficiente y se multiplica por el divisor. En este caso, el primer divisor es -1, y el resultado se coloca en la siguiente columna. Luego se suma en vertical el valor del coeficiente con ese resultado que se obtuvo y el resultado se coloca debajo. De esa manera se repite el proceso hasta la última columna.

Luego se repite nuevamente el mismo procedimiento, pero con el segundo divisor (que es 2) porque aún se puede simplificar la expresión.

Así, para cada raíz conseguida el polinomio tendrá un término (x – a), donde “a” es el valor de la raíz.

(x – (-1)) * (x – 2) = (x + 1) * (x – 2)

Por otra parte, se deben multiplicar estos términos por el resto que quedó de la regla de Ruffini 1: 1 y -6, que son factores que representan un grado. De esa forma la expresión que se forma es: (x2 + x – 6).

La obtención del resultado de la factorización del polinomio por el método de Ruffini es:

x4 – 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x – 2) * (x2 + x – 6)

Para terminar, el polinomio de grado 2 que aparece en la expresión anterior se puede reescribir como (x+3)(x-2). Por lo tanto, la factorización final es:

x4 – 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x – 2)*(x+3)*(x-2).

(https://www.lifeder.com/factorizacion/)

Formula General

La "fórmula general" a menudo se utiliza en el contexto de las ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado que se puede escribir en la forma general:


ax^2+bx+c=0

Donde: a, b, y c son coeficientes conocidos, con a≠0.
x es la variable que estamos tratando de resolver.

La fórmula general se utiliza para encontrar las soluciones (raíces) de esta ecuación cuadrática.

la formula general es:  

x=2a−b±b2−4ac​​

Esta fórmula proporciona dos posibles valores de x, uno con el signo positivo y otro con el signo negativo, debido a la presencia del signo más o menos (±) en la parte superior. Estos valores representan las dos soluciones posibles de la ecuación cuadrática. Si el discriminante b^2−4ac es:

Positivo: Entonces, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.

Igual a cero: Entonces, la ecuación cuadrática tiene una única solución real (una raíz doble).

Negativo: Entonces, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, pero tiene soluciones complejas conjugadas.

Fórmula general

.Usualmente, con fórmula general se hace referencia a aquella que permite resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones de segundo grado. Estas son aquellas donde el máximo exponente al que está elevada la incógnita es 2 y que tiene la siguiente forma:

ax2+bx+c=0

Tomando como referencia esta estructura, la fórmula general para resolver la ecuación es la siguiente

Como podemos observar, este tipo de ecuaciones tiene dos raíces o dos posibles soluciones, cada una de las cuales se puede calcular a partir de la misma fórmula, solo que cambiando un signo de suma por el de resta o viceversa en el numerador, entre -b y la raíz cuadrada de b2-4ac.

Ejemplo de fórmula general

Veamos mejor, con un ejemplo, la aplicación de la fórmula general de ecuaciones cuadráticas.

Si tenemos:

6x2-19x+7=0

Tomando como referencia la fórmula mostrada previamente, a=6, b=-19 y c=7.

Entonces, resolveremos de la siguiente manera:

(https://economipedia.com/definiciones/formula-general.html)